Moin Markus,
die Geometrie ist eigentlich recht simpel. Wir betrachten erstmal den Fall, das wir keinen Übergangsbogen benutzen. Dann wird das zwar sehr spitz und sieht unrealistisch aus, aber wenn wir uns das einmal hergeleitet haben, können wir ohne weiteres auch den Fall mit einem, oder sogar mehreren Übergangsbögen berechnen.
Du hast zwei Zylinder mit Radius r, die im Winkel φ zueinander stehen. Da die Verbindung symmetrisch werden soll, müssen wir die beiden Zylinder also jeweils mit dem Winkel φ/2 anschneiden. Von oben betrachtet sieht die Schnittkante schön gerade aus, aber da wir ja durch Zylinder schneiden täuscht das. In Wahrheit sind die Schnittkanten nämlich Sinusförmig. Um genau zu sein entspricht die Kante der Funktion:
-cos(x/r)*a+a
Dabei ist a die Amplitude der Funktion. (Anm: Die Verschiebung nach oben um a könnte man sich auch sparen. Aber wenn man sich die Funktion plottet ist es mMn etwas logischer, wenn die Funktion bei 0/0 anfängt) Den Wert müssen wir berechnen, dann können wir das ganze an die Abwicklung eines Zylinders klatschen und fertig. Dafür gucken wir uns zunächst den einfachsten Fall an, bei dem die Rohre orthogonal aufeinandertreffen (φ=90°):
Mit ein bisschen nachdenken können wir erkennen, das die Amplitude gerade r beträgt (Die Amplitude geht immer vom Mittelwert aus, darum ist der "Berg" genau 2r hoch, was dem Durchmesser des Zylinders entspricht.). Die Formel lautet also:
-cos(x/r)*r+r
Wie verändert sich die Amplitude jetzt, wenn wir einen beliebigen Winkel φ einsetzen?
Für φ>90° wird die Strecke s und damit auch die Amplitude kleiner (s = 2a), für φ<90° entsprechend größer.
Um die Amplitude zu bestimmen müssen wir s ausrechnen. Dafür brauchen wir den Winkel α. Den können wir ganz einfach ausrechnen, indem wir uns die Symmetrie zunutze machen:
Für α gilt also:
α=90°-φ/2
Mit dem Tangens (tan(α)=Gegenkathete / Ankathete) können wir jetzt s berechnen:
s=tan(α)*2r
Und das wars auch schon.
Unsere allgemeine Funktion lautet also:
-cos(x/r)*a+a ⇔ -cos(x/r)*(tan(α)*r)+(tan(α)*r)
Als kleine Probe können wir in die Formel nochmal φ=90° einsetzen. Da tan(45°)=1 ist, fällt der Tangens als Vorfaktor weg und wir erhalten genau die Formel, die wir am Anfang auch schon aufgestellt hatten.
Und wie ist das jetzt mit den Zwischenstücken?
Ganz einfach: Wenn du eine 90° Kurve einbauen möchtest, kannst du stattdessen auch zwei 45° Kurven mit einem kurzen Zwischenstück der Länge (b) einbauen. Das sind dann zwei Verbindungen ohne Zwischenstück und die können wir ja jetzt problemlos ausrechnen. Wenn wir jetzt hingehen und das Zwischenstück soweit kürzen, bis sich die beiden Cosinuskurven an den Enden berühren (also b=0 setzen), haben wir genau die 90° Verbindung mit Zwischenstück, die wir anfangs eigentlich wollten:
Und so geht es dann auch mit mehreren Zwischenstücken. Einfach am Anfang den ursprünglichen Winkel φ durch die Anzahl an Schnitten teilen und dann damit weiterrechnen.
Wenn man am PC zeichnet, kann man sich die Länge s natürlich auch einfach direkt abgreifen. Oder man nutzt ein Tool wie den Templatemaker Aber es schadet sicher nichts, vorher einmal die Theorie durchgegangen zu sein
mfg
Johannes